[задача] Німецький танк

Постановка задачі

Ця задача насправді виникла у минулому і її було розв’язано математиками під час Другої Світової.

Союзники збирали інформацію про те скільки танків кожного типу було випущено Німеччиною. Від шпигунів було відомо що завдяки німецькій організованості та пунктуальності усі танки нумерувалися послідовно та унікально. Ну тобто номери у них були 1, 2, 3 і так до не відомо стільки. Але ті ж самі шпигуни давали очевидно недостовірну інформацію про кількість танків.

Якщо у нас є підбиті танки з номерами 12, 65, 34 та 51 то скільки усього таких танків було випущено?

 

Рішення задачі

Перше на що можна звернути увагу це на найбільший номер у нашому наборі – 65. З нього ми можемо сказати що було випущено як мінімум 65 танків.

Щоб зробити наступний крок треба бути трохи обізнаним зі статистикою. А саме в нагоді стане одна з теорем яка говорить що для унікальної нерозривної послідовності значень від 1 до Х якщо ми витягуємо випадкове значення то з найбільшою імовірністю ми витягнемо те що є медіаною (тобто значенням найближчим до середнього для всього набору). Уявіть собі коробку з невідомою кількістю пронумерованих кульок. Якщо ви витягуєте будь-яке значення то варто припустити що це медіана серед усіх значень бо для діапазону від 1 до Х з найбільшою імовірністю ви дістанете саме середнє значення.

Тепер ми можемо сказати що згідно максимального значення ми можемо припустити що танків було усього 130.

Час поглянути на інші значення. Важливе в них те що усі вони лежать від 65 зліва на осі Х. Враховуючи що імовірність кожного значення однакова той факт що усі вони групуються зліва означає що справжня медіана теж лежить десь зліва від максимального значення що ми його маємо. І так ми приходимо до формули N \approx m + \frac{m}{k} - 1. Тут N – кількість танків усього, m – найбільший відомий номер, k – кількість відомих номерів.

Для набору номерів наведеного вище отримаємо 80.

Більше теорії та пояснень можна знайти тут – https://en.wikipedia.org/wiki/German_tank_problem.

 

Практичні наслідки

Після закінчення війни коли розрахунки можна було перевірити з’ясувалося що для кожного типу танків математики дали відповідь що на одиниці відрізнялися від реальних значень, а дані які давали шпигуни відрізнялися в рази.

Цікавим наслідком є також те що для нумерації та класифікації використовувати цілочисельні значення небезпечно і тому у військових тепер є спеціально буквено-цифрові системи в яких нумерація таки присутня, але сторонньому спостерігачеві невідомо достовірно як ті позначки переводити у послідовні номери (бо це можна зробити більше ніж одним способом).

Залишити відповідь

Зайти з допомогою: