Розмір групи та імовірність народження більша за 0.5

Задача

Якого розміру має бути група людей щоб імовірність народження хоч одного з неї в ту саму дати що народилися і ви (лише ісяць і число) складала не менше 50%?

Рішення

Для тих хто як і я математикою і теорією імовірності користувався останній раз в інституті/університеті спробую роз’яснити детально.

Для однієї випадкової людини імовірність народження в певну дату року складає 1/365. Позначимо її як p. Відповідность імовірність народження в будь яку іншу дату для тієї ж людини складає 1-p.

Тепер для двох людей складемо таку табличку:

А народився в певну дату

Б народився в певну дату

Імовірність того що дві ці події трапляться одночасно
ні так (1-p)*p
так ні p*(1-p)
так так p*p
ні ні (1-p)2

 

Щоб визначити імовірність народження в певну дату N людей треба скласти всі імовірності усих комбінацій крім тих де ніхто не народився у вказану дату. Або можна зробити простіше і взяти імовірність того що ніхто не народився у вказану дату – вона буде складати (1-p)n. Відповідно імовірність того що хоч хтось з N людей народився у вказану дату складатиме 1-(1-p)n.

Тепер треба знайти чому ж дорівнює n у рівнянні 1-(1-p)n=0.5

Як ми пам’ятаємо (якщо пам’ятаємо) функцією зворотньою ступеню є логарифм. Тому можемо записати так:

image

А як ми знаємо при маленьких значеннях p запис ln(1-p) можна спростити до –p.

Значення ln 0.5 можна знайти у таблицях (наприклад тут – http://www.piclist.com/images/www/hobby_elec/e_logarithm.htm).

Отже маємо:

image

Отже наша відповідь така – для того щоб імовірність що у випадковій групі людей є хоч хтось з такою самою датою народження як і у вас розмір групи має складати не менше ніж 252 людини.

5 коментарів для “Розмір групи та імовірність народження більша за 0.5”

  1. щось забагато.

    Я народився в один з 365 днів року. Ймовірність того що будь-який мій одногрупник не народився в цей же день – $latex frac{364}{365}$. Ймовірність що будь-які два не народились в той же день – $latex left(frac{364}{365}right)^2$. Будь-які n – $latex left(frac{364}{365}right)^n$ Тепер треба знайти таке n, для якого $latex left(frac{364}{365}right)^n < 0.5$

    Чорт, справді 252.7 :).

      1. Та ні, забагато не тексту, а людей. Хоча згадав. Є парадокс який каже про те що група яка з ймовірністю 0.5 містить двох людей з одним днем народження не така вже велика. Тобто довільних двох.

        http://uk.wikipedia.org/wiki/Парадокс_днів_народження

        І для кількості людей в групі 23 – ймовірність зустріти двох з одним днем народження – 50.7%. Для 57 вже 99.0%.

        От що цікаво.

Залишити відповідь